\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{physics}
\graphicspath{ {./} }
\usepackage{ctex}
\usepackage{tikz}

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{对称与守恒的补充说明}
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			% 绘制坐标轴（原点(0,0)）
			\draw[->, thick] (0,0) -- (4,0) node[right]{$q_1$};
			\draw[->, thick] (0,0) -- (0,4) node[above]{$q_2$};
			
			% 定义三个点的位置（A左下，B,C右上）
			\coordinate (A) at (0.5,0.5);
			\coordinate (B) at (1,0.3);
			\coordinate (C) at (3,3);
			\coordinate (D) at (3.5,2.8);
			
			% 绘制曲线 A-B 和 A-C
			\draw[thick] (A) to[out=45,in=-120] (C);
			\draw[thick] (B) to[out=45,in=-120] (D);
			
			% 绘制虚线 B-C
			\draw[dashed, thick] (A) -- (B) node[midway, below]{$\delta q$};
			\draw[dashed, thick] (C) -- (D) node[midway, below]{$\delta q$};
			
			% 标记点A、B、C
			\filldraw (A) circle (1.5pt) node[above ]{$q^{(0)}$};
			\filldraw (B) circle (1.5pt) node[above right]{$q^{(0)} + \delta q$};
			\filldraw (C) circle (1.5pt) node[above ]{$q^{(1)}$};
			\filldraw (D) circle (1.5pt) node[above right]{$q^{(1)}+\delta q$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{示意图}
		\label{fig:abc_relation}
	\end{figure}
	
	\footnote{参考：UCSD《Noether’s Theorem》，UCR《Noether's Theorem in a Nutshell》，朗道《力学》，刘川《理论力学》。本笔记使用AI辅助。笔者水平有限，本笔记可能存在一定疏漏，仅供参考。}
	有的小伙伴可能认为，隔壁笔记中关于对称和守恒的推导有一点像\textsl{微积分的数学把戏}，缺乏足够的物理含义。
	因此，我们此处简要给出一个“更物理的”、基于最小作用量原理的论证。
	
	假定存在一个系统，在$t_0$时刻其广义坐标为$q^{(0)}$，在$t_1$时刻为$q^{(1)}$，
	期间系统的具体运动路径符合最小作用量原理。
	记Lagrange量（准确地说，这是一个泛函）为$L^A$，而全程作用量是$S^A = \int L^A \dd t$：
	$$
	q^{(0)} \to q^{(1)} \quad L^A, S^A
	$$
	现在我们轻微“平移”系统的始末状态，使其分别变为$q^{(0)} + \delta q$与$q^{(1)} + \delta q$等。
	系统的运动路径显然与先前不同，但同样满足最小作用量原理。
	记Lagrange量以及全程的作用量为$L^B$与$S^B$：
	$$
	q^{(0)} + \delta q \to q^{(1)} + \delta q \quad L^B, S^B
	$$
	我们依然假定对称性的存在：这一“平移”操作$\delta q$不改变$L$的数值（因此，$\delta q$的选取不是\textsl{任意的}）
	\begin{equation}
		\text{对称性：}\qquad 
		\delta q_i = \alpha_i \delta s
		~~\text{such that}~~
		\delta L = L^B - L^A = 0
	\end{equation}
	既然$L^B = L^A$，那么自然有$S^B = S^A$，即：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta S = S^B - S^A = \int (L^B - L^A) \dd t = \int \delta L \dd t  = 0
			\Rightarrow
			\int \dv{}{t} ~ (\pdv{L}{q'_i} \delta q_i) \dd t + 
			\int (\pdv{L}{q_i} - \dv{}{t} {\pdv{L}{q'_i}}) \delta q_i  \dd t  = 0
		\end{aligned}
	\end{equation}
	（为了简明，采用Einstein求和约定）最后一步前的推导过程完全类似于从最小作用量原理推导Euler-Lagrange方程；
	但最后一步不大一样：
	由于假定$q^{(0)} \to q^{(1)}$的过程符合最小作用量原理，因此后一项反而为零；
	但由于假定始末态变化了$\delta q$，第一项不平凡为零。
	这意味着，对称性要求
	\begin{equation}
		\int \dv{}{t} ~ (\pdv{L}{q'_i} \delta q_i) \dd t = 0
	\end{equation}
	略一思索，发现上述对称性实则指明了一个更强的条件：由于这一过程中$L$处处相同，因此$S$处处相同，因此被积函数应该处处为零，而不只能是其原函数于始末为零。因此：
	\begin{equation}
		\dv{}{t} ~ (\pdv{L}{q'_i} \delta q_i) = 0 \Rightarrow \dv{}{t} ~ (p_i \alpha_i) \delta s = 0 \Rightarrow \Lambda = p_i \alpha_i \text{守恒}
	\end{equation}
	得到了一致的结果！我们再次从对称性推出了守恒律：
	\begin{equation}
		\text{对称性：}~
		\delta q_i = \alpha_i \delta s
		~~\text{such that }~~
		\delta L = 0
		\Rightarrow 
		\text{守恒量：}~
		\Lambda = \sum_i \left( p_i \alpha_i \right)
	\end{equation}
\end{document}
